跳到主要内容

复习集合论－作业

1.1 集合及其运算​

练习 1.1​

练习 1.1

设 f(x)f(x) 是定义在 EE 上的实值函数，求证

(1){x∈E:f(x)>a}=⋃n=1∞{x∈E:f(x)>a+1n}(2){x∈E:f(x)⩽a}=⋂n=1∞{x∈E:f(x)⩽a+1n}\begin{aligned} (1) \quad \{x \in E: f(x)>a \} &= \bigcup^{\infty}_{n=1} \left\{x \in E: f(x)>a+\dfrac{1}{n}\right\} \\[0.5em] (2) \quad \{x \in E: f(x) \leqslant a \} &= \bigcap^{\infty}_{n=1} \left\{x \in E: f(x)\leqslant a +\dfrac{1}{n}\right\} \end{aligned}

(1)

先证等号左边属于右边即往证 {x∈E:f(x)>a}⊂⋃n=1∞{x∈E:f(x)>a+1n}\{x \in E: f(x)>a\} \sub \bigcup_{n=1}^\infty \left\{x\in E : f(x)>a+\dfrac{1}{n}\right\}

∀x0∈{x∈E:f(x)>a}\forall x_0 \in \{x \in E: f(x)>a\}

有 f(x0)>af(x_0)>a 也即 ∃y0∈(0,+∞)\exists y_0 \in (0,+\infty) 使得 f(x0)>a+y0f(x_0)>a+y_0

取 n0=⌊1y0⌋+1n_0= \lfloor \dfrac{1}{y_0}\rfloor+1 则 y0>1n0y_0>\dfrac{1}{n_0}

f(x0)>a+y0>a+1n0x0∈{x∈E:f(x)>a+1n0}⇒x0∈⋃n=1∞{x∈E:f(x)>a+1n}f(x_0)>a+y_0>a+\dfrac{1}{n_0} \\[0.5em] x_0 \in \left\{x \in E: f(x)>a+\dfrac{1}{n_0}\right\} \\[0.5em] \Rightarrow x_0 \in \bigcup^{\infty}_{n=1} \left\{x \in E: f(x)>a+\dfrac{1}{n}\right\}

即 ∀x0∈{x∈E:f(x)>a}\forall x_0 \in \{x \in E: f(x)>a\} 有 x0∈⋃n=1∞{x∈E:f(x)>a+1n}x_0 \in \bigcup_{n=1}^\infty \{x\in E : f(x)>a+\dfrac{1}{n}\}

⇒{x∈E:f(x)>a}⊂⋃n=1∞{x∈E:f(x)>a+1n}\Rightarrow \{x \in E: f(x)>a\} \sub \bigcup_{n=1}^\infty \left\{x\in E : f(x)>a+\dfrac{1}{n}\right\}

再证等号右边属于左边即往证 ⋃n=1∞{x∈E:f(x)>a+1n}⊂{x∈E:f(x)>a}\bigcup_{n=1}^\infty \left\{x\in E: f(x)>a+\dfrac{1}{n}\right\} \sub \left\{x\in E: f(x)>a\right\}

f(x)>a+1n>af(x)>a+\dfrac{1}{n}>a 即对 ∀n∈Z+\forall n \in \mathbb{Z}_+ 有

若 x1∈{x∈E:f(x)>a+1n}则 x1∈{x∈E:f(x)>a}⇒若 x2∈⋃n=1∞{x∈E:f(x)>a+1n}则 x2∈{x∈E:f(x)>a}⇒⋃n=1∞{x∈E:f(x)>a+1n}⊂{x∈E:f(x)>a}若\ x_1 \in \left\{x\in E: f(x)>a+\dfrac{1}{n}\right\} 则\ x_1 \in \left\{x\in E: f(x)>a\right\} \\[0.5em] \Rightarrow 若\ x_2 \in \bigcup_{n=1}^\infty \left\{x\in E: f(x)>a+\dfrac{1}{n}\right\} 则\ x_2 \in \left\{x\in E: f(x)>a\right\} \\[0.5em] \Rightarrow \bigcup_{n=1}^\infty \left\{x\in E: f(x)>a+\dfrac{1}{n}\right\} \sub \left\{x\in E: f(x)>a\right\}

(2)

等号左边属于右边即 {x∈E:f(x)⩽a}⊂⋂n=1∞{x∈E:f(x)⩽a+1n}\{x \in E: f(x) \leqslant a \} \sub \bigcap^{\infty}_{n=1} \left\{x \in E: f(x)\leqslant a +\dfrac{1}{n}\right\} 是显然的

再证等号右边属于左边即往证 ⋂n=1∞{x∈E:f(x)⩽a+1n}⊂{x∈E:f(x)⩽a}\bigcap^{\infty}_{n=1} \left\{x \in E: f(x)\leqslant a +\dfrac{1}{n}\right\} \sub \{x \in E: f(x) \leqslant a \}

设 x1∉{x∈E:f(x)⩽a} 即 x1>a则 ∃ ε>0 使得 x1>a+ε⇒∃ n1∈N+ 使得 x1>a+1n1⇒x1∉{x∈E:f(x)⩽a+1n1}⇒x1∉⋂n=1∞{x∈E:f(x)⩽a+1n}以上由反证法（逆否命题）知⋂n=1∞{x∈E:f(x)⩽a+1n}⊂{x∈E:f(x)⩽a}设\ x_1 \notin \{x \in E: f(x) \leqslant a \} \ 即\ x_1>a \\[0.5em] 则\ \exists\ \varepsilon >0 \ 使得\ x_1>a+\varepsilon \\[0.5em] \Rightarrow \exists\ n_1 \in \mathbb{N}_+ \ 使得\ x_1>a+\dfrac{1}{n_1} \\[0.5em] \Rightarrow x_1 \notin \left\{x \in E: f(x)\leqslant a +\dfrac{1}{n_1}\right\} \\ \Rightarrow x_1 \notin \bigcap^{\infty}_{n=1} \left\{x \in E: f(x)\leqslant a +\dfrac{1}{n}\right\} \\[0.5em] 以上由反证法（逆否命题）知\bigcap^{\infty}_{n=1} \left\{x \in E: f(x)\leqslant a +\dfrac{1}{n}\right\} \sub \{x \in E: f(x) \leqslant a \}

练习 1.2​

练习 1.2

设 f(x),f1(x),f2(x),⋯f(x), f_1(x), f_2(x), \cdots 都是定义在 EE 上的实值函数，求证

函数列 {fn(x),n≥1}\{f_n(x), n \geq 1\} 收敛到 f(x)f(x) 的点 xx 构成的集合为是

{x∈E:fn(x)>f(x)}=⋂k=1∞⋃n=1∞⋂m=n∞{x∈E:∣fm(x)−f(x)∣<1k}\begin{aligned} \{x \in E: f_n(x)>f(x) \} = \bigcap^{\infty}_{k=1} \bigcup^{\infty}_{n=1} \bigcap^{\infty}_{m=n} \left\{ x \in E: |f_m(x)-f(x)|<\dfrac{1}{k} \right\} \end{aligned}

练习 1.3​

练习 1.3

求证

(lim⁡‾n→∞An)c=lim⁡‾n→∞Anc(lim⁡‾n→∞An)c=lim⁡‾n→∞Anc\begin{aligned} \left( \underset{n \to \infty}{\underline{\lim}} A_n \right)^c= \underset{n \to \infty}{\overline{\lim}} A_n^c \qquad \qquad \left( \underset{n \to \infty}{\overline{\lim}} A_n \right)^c= \underset{n \to \infty}{\underline{\lim}} A_n^c \end{aligned}

练习 1.4​

练习 1.4

求集列 An=(1n,1+1n)(n=1,2,⋯ )A_n = \left(\dfrac{1}{n},1+\dfrac{1}{n}\right)(n=1,2,\cdots) 的上极限集和下极限集

练习 1.5​

练习 1.5

设 {An=n⩾1}\{A_n = n \geqslant 1\} 为任一集列，问下面等式是否成立

(1)lim⁡‾n→∞An=(lim⁡‾n→∞A2n−1)∪(lim⁡‾n→∞A2n)(1) \quad \underset{n \to \infty}{\overline{\lim}}A_n = \left( \underset{n \to \infty}{\overline{\lim}} A_{2n-1}\right)\cup \left( \underset{n \to \infty}{\overline{\lim}} A_{2n}\right)

(2)lim⁡‾n→∞An=(lim⁡‾n→∞A2n−1)∩(lim⁡‾n→∞A2n)(2) \quad \underset{n \to \infty}{\underline{\lim}}A_n = \left( \underset{n \to \infty}{\underline{\lim}} A_{2n-1}\right)\cap \left( \underset{n \to \infty}{\underline{\lim}} A_{2n}\right)

练习 1.6​

练习 1.6

设下列涉及的集合都是全集 XX 的子集，求证

(1)χX(x)=1χ∅=0(1)\quad \chi_X (x)=1 \qquad \chi_\varnothing =0

(2)若 A⊂B 则 χA(x)⩽χB(x)(2)\quad \text{若 } A \sub B \text{ 则 } \chi_A (x) \leqslant \chi_B (x)

(3)χ∪αAα(x)=max⁡αχAα(x)χ∩αAα(x)=min⁡αχAα(x)(3)\quad \chi_{\cup_{\alpha} A_\alpha} (x) = \max_{\alpha} \chi_{A_\alpha} (x) \qquad \chi_{\cap_{\alpha} A_\alpha} (x) = \min_{\alpha} \chi_{A_\alpha} (x)

(4)χlim⁡‾n→∞An=lim⁡‾n→∞χAnχlim⁡‾n→∞An=lim⁡‾n→∞χAn(4)\quad \chi_{\underset{n \to \infty}{\overline{\lim}} A_n} = \underset{n \to \infty}{\overline{\lim}} \chi_{A_n} \qquad \chi_{\underset{n \to \infty}{\underline{\lim}} A_n} = \underset{n \to \infty}{\underline{\lim}} \chi_{A_n}

1.2 映射与基数​

练习 1.7​

练习 1.7

记有理数集为 Q\mathbb{Q}
设 f,gf, g 皆为 X 上的实值函数，求证

{x∈X:f(x)>g(x)}=⋃r∈Q({x∈X:f(x)>r}>{x∈X:g(x)<r})\Big\{x \in X: f(x)>g(x)\Big\}=\bigcup_{r \in \mathbb{Q}} \bigg( \Big\{x \in X: f(x)>r\Big\}>\Big\{x \in X: g(x)<r\Big\} \bigg)

练习 1.8​

练习 1.8

设 A={(x,y):x2+y2⩽1},B={(x,y):x2+y2<1}A=\{(x,y): x^2+y^2\leqslant 1\}, B=\{(x,y): x^2+y^2<1\}

求证   AA 和 BB 对等   A\BA \backslash B 与 R1\mathbb{R}^1 对等

练习 1.9​

设 AA 是 R1\mathbb{R}^1 中的非空集合

求证集合 B={x∈A:∃ δx>0 使得 (x,x+δx)∩A=∅}B=\Big\{ x \in A: \exists \ \delta_x>0 \text{ 使得 } \big(x,x+\delta_x\big)\cap A=\varnothing \Big\} 是可数集

练习 1.10​

练习 1.10

设 f(x)f(x) 是定义在 [0,1][0,1] 上的实值函数，且存在常数 M，使得对于 [0,1][0,1] 中的任意有限个数 x1,x2,⋯ ,xnx_1, x_2, \cdots, x_n，均有 ∣f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)∣⩽M\lvert f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n) \rvert \leqslant M

求证：集合 E={x∈[0,1]:f(x)≠0}E=\big\{ x \in [0,1]: f(x) \neq 0 \big\} 为可数集

1.3 开集​

练习 1.11​

练习 1.11

在 R1\mathbb{R}^1 中，A=[−1,0)∪{1}∪[2,3]A=[-1,0)\cup \{1\}\cup [2,3]，求 A∘A^\circ

练习 1.12​

练习 1.12

设 A=[−1,0)∪{1}∪[2,3]A=[-1,0)\cup \{1\}\cup [2,3]，求 A∘A^\circ

求证：∀A⊂Rn, A∘⊂A, \forall A \sub \mathbb{R}^n, \space A^\circ \sub A, \space 有   AA 为开集 ⇔A=A∘\Leftrightarrow A=A^\circ

练习 1.13​

练习 1.13

在 R1\mathbb{R}^1 中，A=[−1,0)∪{1}A=[-1,0)\cup \{1\}，求 A∘A^\circ 和 AA

练习 1.14​

练习 1.14

设 A=[−1,0)∪{1}A=[-1,0)\cup \{1\}，求 A∘A^\circ 和 AA

求证 x∈A′⇔∀ε>0,(U(x,ε)\{x})∩A≠∅x \in A^\prime \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0, (U(x,\varepsilon)\backslash\{x\})\cap A \neq \varnothing

练习 1.15​

练习 1.15

求证 Q′=R1\mathbb{Q}^\prime = \mathbb{R}^1 从而 Q‾=R1\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}^1

练习 1.16​

练习 1.16

设 f(x) 是定义在 R1\mathbb{R}^1 上的单调增函数，求证：集合

E={x:∀ε>0 有 f(x+ε)−f(x−ε)>0}E=\{x: \forall \varepsilon >0 \text{ 有 } f(x+\varepsilon)-f(x-\varepsilon)>0\} 是 R1\mathbb{R}^1 中的闭集

练习 1.17​

练习 1.17

(1) GδG_\delta 型集和 FδF_\delta 型集都是 Borel\text{Borel} 集

(2) GδG_\delta 型集未必是开集，FδF_\delta 型集未必是闭集

练习 1.18​

练习 1.18

闭集是 GδG_\delta 型集，开集是 FδF_\delta 型集

练习 1.19​

练习 1.19

设 f(x)f(x) 是定义在 R1\mathbb{R}^1 上的实值函数，求证：

f∈C(Rn)f \in \mathcal{C}(\mathbb{R}^n) (即 ff 是连续函数) 当且仅当对任意的常数 aa，
集合 {x:f(x)⩽a}\{x: f(x)\leqslant a\} 和 {x:f(x)⩾a}\{x: f(x)\geqslant a\} 都是闭集

练习 1.20​

练习 1.20

设 ff 是定义在 R1\mathbb{R}^1 上的实值函数，则 f∈C(Rn)f \in \mathcal{C}(\mathbb{R}^n) 当且仅当
对任意的 G∈O(R1),f−1(G)∈O(Rn)G \in \mathcal{O} (\mathbb{R}^1), f^{-1} (G) \in \mathcal{O} (\mathbb{R}^n)

练习 1.21​

练习 1.21

举例说明：设 ff 是定义在 R1\mathbb{R}^1 上的连续函数，GG 为开集，但
像集合 f(G)f(G) 未必是开集

练习 1.22​

练习 1.22

设 ff 是定义在 R1\mathbb{R}^1 上的实值函数，求证：
ff 的连续点集为 GδG_\delta 型集

1.4 Cantor 集​

本节无练习